英語史の授業でタイムリーな質問をもらいました．ありがとうございます．
日本では，ステイホームと呼びかけていますが，トランプ大統領が Facebook で，Stay at home! と呼びかけていたので気になりました．なんとなく，Stay at your home!→Stay at home!→Stay home! と省略されてきたように思ったのですが，テキスト『はじめての英語史』70頁には，home は，名詞 home の対格にすぎず，後には純然たる副詞として解釈されるようになったとあります．そうすると，むしろ，Stay home! が先で，後になって前置詞 at が添えられる用法も出てきたと考えるべきなのでしょうか．
これについて歴史的に少し調べた上で回答しましたので，本ブログでも共有します．
タイムリーな質問，ありがとうございます．話題の表現なので，両者の違い（の有無）についてウェブ上でもいろいろと情報が掲載されているようですね．英語の英米差であるとか，結局はどちらも用いられるなどと，様々な見解があるようです．現代英語のコーパスで各表現が用いられる分布や文脈を調べてみるとおもしろいかもしれません．英語学のレポートや卒論などにも向いているテーマではないかと思います．
しかし，ここでは英語史の観点から迫ることにします．ご質問の前提には，stay home と stay at home のどちらが歴史的に先に現われたのか，どちらが由緒正しい表現なのか，という問題意識があるかと思います．その点を念頭に置きながら，簡単に調べて考えた結果を以下に記します．本格的な議論のためには，本当はもっと時間とエネルギーを割かなければなりませんが．
まず，現代英語の副詞 home について見てみましょう．『はじめての英語史』に言及して指摘していただいた通り，古英語 hām の方向を示す名詞の副詞的対格の用法がもととなり，単独で「家へ（行く）」という動的な語義を獲得し，純然たる副詞へと発達したという経緯があります (cf. 「#783. 副詞 home は名詞の副詞的対格から」 ([2011-06-19-1])) ．実際，この副詞化はすでに古英語期までに達成されていたと考えられます．
しかし，本来の名詞が副詞化したといっても，あくまで動的・方向的な「家へ（行く）」という語義において副詞化したにとどまり，古英語期はおろか続く中英語期にあっても「家に（いる）」という（今回の stay home が該当する）静的・位置的な語義での副詞化には至っていませんでした．現代英語の be home や stay home 等の表現に体現されている静的・位置的な「家に（いる）」の語義の発達は，近代英語期になってからの新しい革新です (cf. 「#2237. I'm home.」 ([2015-06-12-1])) ．つまり，stay home というコロケーションについていえば，近代英語期（詳しく調べていませんが，場合によっては後期近代英語期ですら）に生まれた新しい表現ということになります．
一方，at home という静的・位置的な語義の前置詞句は古英語より確認されます．ということは，stay at home のような表現も，このコロケーションの具体的な初出の時期はおいておくにせよ，相当古くから用いられたはずだということになります．以上より，時系列としていえば，stay at home が先にあり，ずっと遅く近代英語期になって stay home が現われたということは間違いありません．
現代英語を「共時的」にみれば stay at home がベースにあり，そこから前置詞が省略されて stay home となったとみることもできますし，逆に stay home がベースにあり，そこに前置詞 at を加えて慎重かつ丁寧に表現したとみることもできます．ある意味では，自由に解釈してよいと思います．
しかし，「通時的」にみるならば，因果関係としてどちらが先手でどちらが後手かという問い自体が，もしかすると不毛なのかもしれません．時間的には確かに stay at home が先です．しかし，だからといって，そこから at が省略されて stay home という表現が生まれたのだと，その成立過程を説明づけてよいかどうかは分かりません．この議論を仮に「統語的縮約」説と呼んでおきましょう．一方，home は先立つ時代に動的・方向的な語義を獲得していましたので，それが近代英語期になって，メトニミーにより，ある意味では対義ともいえる静的・位置的な語義をも獲得したと考えることもできます．この議論が成り立つならば，それは「意味的拡張」説と呼べるでしょう．通時的にはどちらが真実なのかは分かりません．両方が合わさったというのが真実かもしれません．
いろいろ議論してきましたが，まとめに入りましょう．時系列でみるならば，stay at home が先で，stay home が後です．しかし，英語史の観点からすると，stay at home から at が省略されて stay home という表現が成立したという単純かつストレートな過程があったとみることには慎重であるべきだと考えます．後者の表現は半ば独立し，半ば前者の影響を受けて発達してきたのだろうと思います．そして，それがいったん確立してからは両者は同義の variants として，時には韻律の要請（3音節か2音節かの違い）に従って使い分けられ，時には社会言語学的価値付け（アメリカ英語かイギリス英語かなど）を与えられながら，ともに現役で用い続けられてきたということかと思います．
両表現の並存は，どちらが先でどちらが後か，どちらが由緒正しいかという問題と見るよりは，それぞれが独立した資格で鎬を削っているかのように見えて仕方がないのです．
あくまで浅い調査に基づいたコメントです．なかなかおもしろそうなテーマですので，明日以降もう少し調べてみたいと思います．
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