apple, cat, man に含まれる母音は，日本語母語話者にとっては難しい音です．日本語の「ア」でもなければ「エ」でもなく，その中間音ということなので中途半端に聞こえます．カタカナでは「エァ」と2文字で書くのが近いと思われますが，発音としてはあくまで単母音であるので注意が必要です．この音は，国際音標文字 (ipa) ではまさに a と e を組み合わせた [æ] と表記されます．
[æ] について，音声学的には様々に解説できますし，それに基づいた学習法や指導法もあるとは思います（音声学でいう母音四辺形については「#19. 母音四辺形」 ([2009-05-17-1]) を参照）．しかし，ここでは英語史の観点からこの母音について考察したいと思います．標題の質問に真っ向から答えるのは難しいのですが，せめて歴史的な背景だけでも知っておくとモヤモヤは晴れるかもしれません．
ざっと2000年ほど前の（西）ゲルマン祖語の時代にさかのぼりましょう．今回問題となっている母音の当時の発音は，日本語張りのシンプルな「ア」= [a] でした．ところが，紀元700--1100年の古英語の時代までに，発音に際しての舌構えが少し前寄り・上寄り（つまり「エ」寄り）となり，問題の [æ] となりました．文字として <a> とは別に <æ> が作り出されたのも同時期です（例えば古英語の「りんご」は æppel などと綴られました）．古英語のこの文字は "ash" と呼ばれますが，ずっと後の19世紀後半に国際音標文字が策定されたときに，この母音を表わす記号として採用されることになりました．つまり，古英語の <æ> が先にあり，発音記号の [æ] は後にそれを拝借したものにすぎません（その逆ではないので注意）．
さて，古英語の [æ] は，中英語期になると少し後ろ寄り・下寄りの [a] へ回帰する傾向を示しました．正確にいえば，古英語から続く [æ] も完全に失われたわけではないので，[a] が [æ] よりも優勢となったと表現しておきましょう．[a] が優勢となったためか，この時代には文字 <æ> も用いられなくなり，英語のアルファベットから永遠に消えていきました（そして19世紀に発音記号として「復活」したことは上記の通りです）．
続く初期近代英語期には，再び [æ] が勢いを取り戻し，[a] は劣勢となります．そして，[æ] は現代にかけてその勢いを増し続け，ついに [a] は概ね追い払われてしまいました．
つまり，この2000年ほどの間，今注目している件の母音は，[a] → [æ] → [a] ? [æ] → [æ] ? [a] → [æ] のように行ったり来たりを繰り返してきたのです（「?」は揺れを表わします）．現在は [æ] の時代ということになりますが，標準発音でそうだというだけで，方言や話者個人によっては [a] もありますし揺れも頻繁でしょう．このような状況は，昔もおよそ同じだったはずです．
なぜこのように振り子が振れ続けてきたのかはよく分かりません．ただ1つ言えることは，英語の歴史を通じて，この音は微妙な発音の違いを示しながらも同一性を保ち続けてきたということです（専門的には「同一音素であり続けてきた」と表現します）．今後，再び振り子が振れて，英語史上何度目かのシンプルな [a] = 「ア」へ回帰する時代がやってくるかもしれませんね．そうなれば日本語母語話者にとっては楽でしょう．
以上，Minkova (199--200) を参考にして執筆しました．
・ Minkova, Donka. A Historical Phonology of English. Edinburgh: Edinburgh UP, 2014.
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