「#3111. カオス理論と言語変化 (1)」 ([2017-11-02-1]) の記事で，初期条件の僅かな異なりが後に甚大な差異をもたらし得ることを，簡単な数式（ロジスティック方程式）により示した．このようなカオスは，ポーランド生まれの数学者 Benoît Mandelbrot (1924--2010) により幾何学と結びつけられ，自己相似的な図形「フラクタル」 (fractal) と関連づけられるようになった．
数列がある数値に収斂していく様子を幾何学的に表現すれば，ある1点へすべてが集まっていく図形が想像されるだろう．これをアトラクタという．アトラクタには，このようにきわめて単純なものもあるが，もう少し複雑なものとして閉じた輪の形状を示すものもある．ここでは収斂してゆく先が1点ではなくループ状ではあるものの，まだ十分に規則的と呼びうるアトラクタである．しかし，1点でもループ状でもなく，より複雑な図形がアトラクタとなるケースがある．これがまさにカオスの示すアトラクタであり，その本質が解明されていないことから，ストレンジ・アトラクタと呼ばれる（先の記事で示したローレンツ・アトラクタがその1例）．このようなアトラクタを，別の幾何学的な演算を加えた上で描きなおすと，非常に複雑だが，美しい自己相似的な図形，つまりフラクタルとなるものがある．その最も有名な例が，「マンデルブロー集合」 (Mandelbrot set) である．その形状から "gingerbread man" とも呼ばれる．以下をクリックして，次々に拡大していくGIFアニメーションもどうぞ．
この図形のある部分を拡大していくと，もとの図形と相似な図形が次々と現われる．この再帰性が永遠に続いていくのである．
言語変化がカオス現象の1例だとすれば，それに対応する幾何学図形であるフラクタルとその自己相似性という特徴は，言語変化のいかなる側面を表わしていると考えられるのだろうか．
フラクタルの自己相似性は，とりわけカオスの辺縁においてみられる．例えば，言語変化における variation に関して，あらゆる側面・次元で似たようなことが生じている，というようなことが考えられようか．語彙拡散のS字曲線が複数のより小さなS字曲線から成っているという事実も，フラクタル的である．
カオスとフラクタルの不思議な関係については，スチュアート (268--301) が読みやすい．
・ スチュアート，イアン（著），須田 不二夫・三村 和男（訳） 『カオス的世界像 非定形の理論から複雑系の科学へ』 白揚社，1998年．