昨日の記事「#2473. フランス語にみられる20進法の残滓」 ([2016-02-03-1]) では，フランス語の数詞体系の一部にみられる20進法の原理について取り上げた．イフラーの『数字の歴史』を手にとってパラパラと眺めていると，世界には実に様々な数え方があるものだと思い知らされる．諸言語の数詞体系の背後にある10進法，5進法，20進法，60進法などの考え方は「底の原理」と呼ばれるが，なぜこのように多様な底が生まれてきたのだろうか．
　人間が数を抽象化する際には，基数の原則と序数の原則という2つの原則がありうる．基数の原則とは，単位1を表わすもの（たとえば棒線）を必要な数だけ単純に並べていくという発想である．きわめて単純な方法だが，表わす数が大きくなると当然ながら単純さよりも不便さが上回ってくる．対して，序数の原則とは，1から順に増えていく整数に対して互いに独立した別個の記号をあてがう方法である．例えば，私たちの常用しているアラビア数字は，<1>, <2>, <3> などの間に互いに自明な形態的関連が見いだされないため，序数の原則に基づいているといえる．序数の原則は効率はよさそうだが，数と数字の対応関係を暗記しなければならないという短所がある．
　このように両原則には一長一短あるため，実際には両者の長所が最大限に活かされるような形で数詞体系が構成されてきた．数個ほどの数に対して互いに独立した記号をあてがい，大きい数はそれらの記号を特定の順序で並列させる「桁」の概念を導入したわけだ．実用目的も考慮して，人間の頭に暗記を強いることのできるのは，せいぜい数個から数十個の間にとどまり，これが10進法や20進法などの底を生み出したのだろう．
　したがって，世界の数詞体系に多様性があるとはいっても，大多数の言語に観察される「底」は，上に挙げたような数種類に限られるのが現実である．だが，3進法，7進法，18進法などがまず見られないのに対して，10進法，5進法，20進法，60進法などが比較的よく見られるのはなぜだろうか．
　10進法はとりわけ普遍的である．これは，間違いなく人間の指の数と関係する．通常は両手の指を用いて数えるだろうから10進法が発達したのは自然だが，片手5本指で数えるということも突飛ではない．したがって，5進法も容易に理解できる．重要なのは，10進法にせよ5進法にせよ人間の偶然の解剖学的な特徴に依存しているにすぎず，数学的な利点は特に認められないということだ．数学的に考えるならば，約数の多い12や素数たる7などのほうが優れていると論じることもできるのだ．しかし，指はなにより人間の体についている身近な存在であり，しかも序数の原則に伴う暗記の負担を考慮すると，10という底はそれなりにバランスがとれているという利点がある．こうして，10はきわめて普遍的な底となっていると考えられる．
　足指も含めて考えると，20進法という発想も悪くないように思われる．昨日の記事でも触れたように，実際にケルト語，アステカ語，マヤ語などでは歴史上の早い時期から20進法のアイディアをもっていた．しかし，上述の暗記の負担はぐんと大きくなる．したがって，20進法を採るにせよ，数詞の語形成においては部分的に10進法などが前提とされていることも多い．例えば，昨日の記事で解説したように，ラテン語 viginti (20) は語源的には2と10を表わす語に分解される．
　最後に，シュメール語などにみられる60進法を考えよう．60の底では暗記の負担が尋常でないことは容易に察せられるし，実際には補助的なより小さい底も導入しているのだが，60進法には天文学や数学などの学術的観点から有益な側面があるようだ．イフラーが様々な説を紹介している．60は「最も多くの約数を含んだ数の中では最も小さく，最も扱いやすいものである」 (42) とか，「1年間の日数は，端数をとれば360であり，おそらくそれによって円の360度分割が行なわれたのであろうし，また円の6分の1の弦が半径に等しいという事実から，この数によって円を6分割することが行なわれ，その結果60という数が優勢になったのだろう」 (42) とか，「正三角形が形づくる角を10等分することによって平面の60等分が行なわれた」 (42) とか，「60が底として選ばれたのは二つの民族の結合から生じたことで，一方の民族が十進法を，他方が手指を使う特殊なやり方でしかも6に基づいた方式をもたらした」 (43) など．しかし，これらの説のいずれも，確たる計量法的根拠を与えているとはみなせず，60進法の由来について定説はないというべきである．
　イフラーは詳しく扱っていないが，言語のなかには12進法の発想をもつものもあり (cf. dozen) ，これは上記の60進法と関連するのではないかと想像される（イフラー，p. 42）．

　・ イフラー，ジョルジュ（著），松原 秀一・彌永 昌吉（訳）　『数字の歴史　人類は数をどのようにかぞえてきたか』　平凡社，1988年．

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